sistema de ecuaciones
Aspectos históricos
Tradicionalmente, se ha asignado la paternidad del Álgebra a los matemáticos árabes. En realidad, el mérito de éstos radica en la recopilación y ampliación de los conocimientos de matemáticos babilónicos, egipcios, hindúes y griegos.
Es de todos conocido el código, grabado en una estela de diorita, del rey babilónico Hammurabi, cuyas leyes regían la sociedad babilónica y que actualmente está en el Museo del Louvre. Es, sin embargo, menos conocido que, en diversas excavaciones arqueológicas, se han encontrado tablillas de arcilla de su época en las que se plantean y solucionan sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas.
Los sistemas de ecuaciones lineales, por tanto, fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser:
Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de reducción. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28 y + x = 10
restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir, x = 6 e y = 4.
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a. de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos, de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Imagen del Papiro de Moscú.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
x + ax = b
x + ax + bx = c
donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería:
x + 1/7 x = 24
Imagen de la 1ª parte del Papiro de Rhind.
Imagen de la 2ª parte del Papiro de Rhind.
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Imagen de los "Elementos de Euclides".
Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada. Sin embargo, una de las dificultades que encontramos en su resolución de ecuaciones es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.
El libro "El arte matemático", de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
Uno de los períodos más fructíferos de la ciencia en China tuvo lugar con el reinado de la dinastía Sung (960-1279). Coincidiendo con el declive de esta dinastía, en el siglo XIII, el desarrollo del Álgebra alcanzó cotas elevadas en este pais.
Actualmente se conservan admirables trabajos de cuatro matemáticos chinos: Qin Jiu-shao, Yang Hui, Zhu Shi-jie y Li-Ye. De este último se conservan dos textos: Tse yuan hai jing (Espejo marino de las medidas del círculo) y Yi gu yan duan (Nuevos pasos del cálculo). Ambas obras reducen problemas geométricos a problemas algebraicos planteando el método tian-yuan (método de los elementos celestiales) para la resolución de las ecuaciones algebraicas.
El método tian-yuan se introdujo en Europa varios siglos después, en el siglo XV con Al-Kasi, en el año 1600 con François Viète (Vieta) y en 1804 con Paolo Ruffini.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).